SCENARIUSZ LEKCJI

Opracowała: inż. Arletta Gołaszewska nauczycielka matematyki w SP w Orszymowie

Program NBM. Dział : Symetrie. Klasa I gimnazjum.

Temat : Punkty symetryczne względem początku układu współrzędnych.

Zadania lekcji:

1. Odkrycie związku między współrzędnymi punktów symetrycznych względem początku układu współrzędnych.

2. Rozwijanie zdolności analizowania i właściwego wnioskowania.

3. Kształcenie umiejętności wyznaczania punktów symetrycznych względem początku układu współrzędnych.

4. Kształcenie umiejętności wyznaczania środka symetrii figury.

5. Utrwalenie wiadomości związanych z symetrią środkową oraz właściwościami figur płaskich.

6. Wyrabianie sprawności w obliczaniu pól wielokątów.

7. Kształcenie uczuć estetycznych ucznia (estetyka rysunku i zapisu).

Metody i formy pracy:

- praca w grupach

- praca indywidualna

- ćwiczenia

- dyskusje

Pomoce dydaktyczne:

- przyrządy geometryczne (cyrkiel, linijka, ekierka)

- geoplan

- kolorowa kreda i mazaki

- karty z treścią zadań dla poszczególnych grup

- zbiór zadań NBM dla klasy I gimnazjum

Literatura:

- NBM podręcznik dla klasy I gimnazjum

- NBM zbiór zadań dla klasy I gimnazjum

- NBM 5 - przewodnik metodyczny

- NBM - przewodnik metodyczny dla klasy I gimnazjum

Etapy lekcji:

I. Wprowadzenie

II. Przedstawienie problemu

III. Zadania utrwalające poznane wiadomości

IV. Podsumowanie.

Etap I.

Przy wejściu do sali nauczyciel dzieli klasę na trzy grupy. Podział na grupy - przypadkowy. Uczniowie losują z koperty kolorowe figury (kwadraty, trójkąty i prostokąty). Osoby, które wybrały jednakowe figury tworzą grupę. Nauczyciel przypomina uczniom zasady pracy w grupie.

Kolejna część lekcji to przypomnienie wiadomości dotyczących własności: symetrii osiowej, symetrii środkowej symetralnej odcinka, dwusiecznej kąta oraz własności wielokątów.

Etap II.

Nauczyciel przygotował na tablicy układ współrzędnych z zaznaczonymi punktami A, B, C. Zadaniem uczniów jest znalezienie punktów do nich symetrycznych względem początku układu współrzędnych.

Po wykonaniu zadania nauczyciel poleca uczniom określić współrzędne zaznaczonych punktów i uzupełnić zapisy w zeszytach i na tablicy:

A=(2, 3) A'= . . . . So - symetria środkowa względem

B=(1,-4) B'= . . . . punktu 0 (0, 0)

C=(-3,-1) C'= . . . .

Nauczyciel proponuje uczniom przeanalizowanie zapisów i "odkrycie" własności punktów symetrycznych względem początku układu współrzędnych.

Uczniowie wysuwają i zapisują wniosek:

Obrazem punktu o współrzędnych (a, b) w symetrii względem początku układu współrzędnych jest punkt o współrzędnych (-a,-b).

Zapis symboliczny:

P = (a, b) P' = (-a, -b)

Nauczyciel oznajmia, że poznaną własność będziemy stosować w rozwiązywanych dzisiaj zadaniach.

Etap III.

Po rozdaniu kart pracy poszczególnym grupom uczniowie przystępuję do rozwiązania zadania pierwszego.

Zad. 1.

W układzie współrzędnych dany jest odcinek o końcach K=(-2, -1) i L=(-1,-3)

a) określ współrzędne końców odcinka K'L' symetrycznego do danego względem punktu O=(0, 0).

b) Uzasadnij w oparciu o własności symetrii środkowej, że trójkąty KLO i OK'L' są przystające.

Rozwiązanie :

Dane: K=(-2, -1)

L=(-1, -3)

a) Wykorzystując poznaną własność, uczniowie podają współrzędne punktów K' i L' : K' = (2, 1), L' = (1, 3)

b) Uczniowie wykonują rysunek w zeszytach i na tablicy, a po przypomnieniu pojęcia trójkątów przystających oraz własności symetrii środkowej przeprowadzają uzasadnienie.

Punkt O jest środkiem odcinków KK' i LL" więc:

KO = OK'

LO = OL'

Odcinek K'L' jest obrazem odcinka KL w symetrii względem punktu O, zatem:

KL = K'L',

stąd:

rKLO ş rOK'L'

Zad. 2.

W układzie współrzędnych dany jest trójkąt prostokątny ABC, w którym A=(-5,-1), B=(3, 3), C=(1, 5)

a) Znajdź konstrukcyjnie środek S okręgu opisanego na trójkącie ABC i podaj jego współrzędne.

b) Wyznacz współrzędne środka okręgu opisanego na trójkącie A'B'C' symetrycznym do danego względem punktu O=(0, 0).

a) Po narysowaniu trójkąta w układzie współrzędnych uczniowie zastanawiają się nad wykonaniem pierwszego polecenia. Można ich naprowadzić zadając pytania:

- Jak znaleźć środek okręgu opisanego na trójkącie?

(Należy wykreślić symetralne boków)

- Gdzie położony jest środek okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym?

(W środku przeciwprostokątnej).

Następnie uczniowie znajdują punkt S kreśląc symetralną boku AB:

c) Część uczniów spostrzega, że nie potrzeba kreślić trójkąta symetrycznego do rABC względem punktu O(0, 0) , by wyznaczyć współrzędne środka okręgu opisanego na rA'B'C' . wystarczy znaleźć punkt S' symetryczny do punktu S względem punktu O (0, 0).

Podają współrzędne punktu S: S =(-1, 1)

oraz współrzędne punktu S' : S'=(1, -1)

Nauczyciel poleca rozwiązanie w zeszytach zadań ze zbioru:

Zad. 6/132

Zad. 7/132

Zad. 8/132

Po wykonaniu powyższych zadań uczniowie przystępują do rozwiązania kolejnego zadania z karty ćwiczeń.

Zad. 3.

Dane są punkty A=(2, 1) i B=(2, 5) . Podaj współrzędne punktów A' i B' symetrycznych do danych względem początku układu współrzędnych.

a) uzasadnij, że punkty A, B, A', B' są wierzchołkami równoległoboku.

b) oblicz pole tego równoległoboku.

Rozwiązanie:

Dane: A= (2, 1)

B= (2, 5)

Otrzymujemy:

A' = (-2, -1)

B' = (-2, -5)

a) uczniowie zauważają, że odcinki A'A i B'B są przekątnymi czworokąta, a ponieważ dzielą się na połowy, to ABA'B' jest równoległobokiem i zapisują:

A'O ş OA ; ˝A'O˝= ˝OA˝

B'O ş OB ; ˝B'O˝= ˝OB˝

b) uczniowie objaśniają sposób obliczenia pola równoległoboku a następnie kreślą wysokość AD opuszczoną na prostą A'B' oraz ustalają długości odcinków potrzebnych do obliczeń:

P = ˝A'B'˝ × ˝AD˝

˝A'B'˝ = 4 j

˝AD˝ = 4 j

P = 4 × 4

P = 16 [ j2]

Odpowiedź: Pole danego równoległoboku wynosi 16 j2 .

Kolejnym zadaniem jest zadanie ze zbioru zadań zadanie 9/132.

Zadanie 9. str. 132

Dane są tylko wierzchołki: A=(4, 0), B=(1, 1), C=(0, 4)wielokąta, o którym wiemy, że jest symetryczny względem osi x, osi y oraz punktu (0, 0).

a) Przedstaw go na rysunku. Opisz jego kształt. Ile wierzchołków ma ten wielokąt?

b) Wyznacz współrzędne wszystkich wierzchołków badanego wielokąta.

c) Czy istnieją inne rozwiązania oprócz tego, które znalazłeś?

a)

Narysowany wielokąt wklęsły kształtem przypomina gwiazdę o czterech jednakowych ramionach. Wielokąt ten ma osiem wierzchołków A, B, C, D, E,

F, G, H.

b) Współrzędne pozostałych wierzchołków wielokąta:

D=(-1, 1)

E=(-4, 0)

F=(-1,-1)

G=(0, -4)

H=(1, -1)

c) Jest to jedyne rozwiązanie

Zad. 4.

Jakie warunki spełniają współrzędne (x, y) punktów leżących wewnątrz czworokąta o wierzchołkach w punktach A=(-4,-2), B=(2,-2), C=(2, 4), D=(-4, 4).

a) sporządź rysunek

b) wyznacz środek symetrii figury

c) oblicz pole figury

d) oblicz promień okręgu opisanego na czworokącie

e) oblicz promień okręgu wpisanego w dany czworokąt

a)

Uczniowie zauważają, że punkty leżące na bokach i wierzchołkach kwadratu nie należą do zbioru rozwiązań,

zatem: -4 < x < 2 i -2 < y < 4

b)

Środek symetrii figury leży w punkcie przecięcia przekątnych kwadratu. Część uczniów podaje, że środek można wyznaczyć kreśląc dwusieczne dwóch kątów lub symetralne dwóch boków sąsiednich.

S = (-1, 1)

c) P = a2 - czworokąt jest kwadratem

P = ˝AB˝2 ; ˝AB˝= 6 j

ë_____________________ű ß

P = 36 j2

d) Promień okręgu opisanego równy jest połowie przekątnej kwadratu.

d = a Ö2 - przekątna kwadratu o boku długości a

R = 1 d

R = 1 a Ö2 i a = 6 j

R = 1 6 Ö2 Ţ R = 3 Ö2 j

f) Uczniowie zauważają, że promień okręgu wpisanego w kwadrat równy jest połowie jego boku:

r = 1 a

r = 1 6 Ţ r = 3 j

Etap IV.

Podsumowanie :

W tej części lekcji przedstawiciele grup relacjonują efekty pracy przed audytorium. Prezentując wyniki pracy, uczniowie mają możliwość porównania sposobów rozwiązań problemu i rezultatów osiągniętych przez inne zespoły.

Etap V.

Na zakończenie lekcji uczniowie przypominają własność współrzędnych punktów symetrycznych względem początku układu współrzędnych. Dokonują też samooceny; określają czego i jak się nauczyli, czemu służyły przyjęte metody pracy oraz jak dalej pracować i wykorzystywać zdobyte doświadczenie.

Zadanie pracy domowej

Zadanie 2. str. 131

Wytnij z kartonu po cztery przystające koła, kwadraty, trójkąty równoboczne.

Z tych czterech:

a) kół,

b) kwadratów

c) trójkątów równobocznych zbuduj figury, które posiadają środek symetrii.

Narysuj kilka figur, które znalazłeś.

Wnioski:

W lekcji o takiej strukturze nauczyciel świadomie rezygnuje za swej dominującej roli i przestaje być najważniejszą osobą w klasie. Koordynuje on i organizuje aktywność. Pomaga wyjaśniać wątpliwości, ale nie daje gotowych rozwiązań problemów.

Ta tematyka jest przewidziana na dwie jednostki lekcyjne. Wszystkie wiadomości niezbędne do rozwiązania powyższych zadań zawarte są w podręczniku NBM. Ponadto wiadomości te wystąpiły we wcześniejszych tematach lekcyjnych. W związku z tym uczeń jest teoretycznie przygotowany do zajęć.